Отрезок прямой
В геометрии часто используются понятия отрезка и луча. Они определяются как часть прямой. Известно, что прямой принадлежит бесчисленное количество точек. Возникает вопрос: в каком порядке располагаются эти точки на прямой? Чтобы дать ответ на этот вопрос, возьмем прямую а и точки А, В и С, лежащие на этой прямой (рис. 11).
На рис. 11 видно, что точка С лежит между точками В и А. Точка В не лежит между точками А и С. Действительно, можно привести основные свойства расположения точки на прямой с помощью понятия “лежат
между”. Они образуют вторую группу основных свойств и называются
аксиомами порядка.
II1. Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.
Понятие “лежат между” дает возможность определить понятие отрезка.
Определение. Отрезком называется часть прямой, состоящая из всех точек, лежащих между двумя данными точками.
Данные две точки называются концами отрезка. На рис. 11 точки А, В и лежащие между ними точки определяют часть прямой — отрезок. Такой отрезок обозначается АВ или ВА. Точки А и В являются концами данного отрезка. Так как точек, лежащих на прямой, бесконечно много, на отрезке их также бесконечно много. Потому что между точками А и В всегда найдется любая точка С.
Если существует точка Е, общая для отрезка АВ и прямой b, тогда отрезок АВ и прямая b пересекаются в точке Е (рис. 12), и точка Е лежит на отрезке АВ и на прямой b.
Луч
Пусть дана прямая с (рис. 13). Точка О делит прямую с на две части. Каждая из них называется полупрямой. Точки А,В лежат на одной полупрямой, а точки С,D лежат на второй полупрямой. Точка О называется начальной точкой.
Наблюдаем следующую особенность. Точка О не лежит между двумя произвольными точками одной полупрямой (например, между А,В или С,D).
На основе вышеназванных новых понятий мы приводим вторую аксиому расположения точки на прямой.
II 2. Точка, лежащая на прямой, делит эту прямую на две полупрямые. Полупрямую иногда называют лучом.
Полупрямую, т. е. луч, изображенный на рис. 13, обозначают, например, двумя буквами: ОА и ОС. Первая буква определяет начальную точку полупрямой или луча, а вторая — какую-нибудь точку на луче. Итак, каждая точка прямой разделяет ее на два луча. Лучи ОА и ОС (рис. 13) дополняют друг друга до прямой и называются дополнительными лучами. Значит, лучи тоже являются частями прямой.
Пусть дан луч ЕF (рис. 14). На луче ЕF отметим точку М. Отрезок ЕМ лежит на данном луче ЕF. Поэтому рассматриваем его как часть луча ЕF.
Если существует (не существует) общая точка данного отрезка
(прямой) и данного луча, тогда будем говорить, что отрезок (прямая) и
луч пересекаются (не пересекаются). Например, луч ЕF, изображенный
на рис. 14, пересекается с отрезком АВ (прямой а) в точке Q и не пересекается с отрезком СD (прямой b). Если существуют две общие точки данных прямых, то они совпадают.
Если на плоскости отмечена произвольная точка, то можно провести бесконечно много лучей, началом которых является данная
точка.
Полуплоскость
Теперь рассмотрим расположение точек плоскости относительно прямой, лежащей в данной плоскости. Пусть даны плоскость и прямая а,принадлежащая данной плоскости (рис. 15). Прямая а делит данную плоскость на две части. Каждая часть называется полуплоскостью. Обозначим одну полуплоскость α1, а вторую α2.
Это разделение обладает следующими свойствами. Если точки А и В
принадлежат одной полуплоскости, то отрезок АВ не пересекается с
прямой а. Такое же утверждение верно и для точек С, D и отрезка СD.
Точки А и С лежат в разных полуплоскостях: α1 и α2. А соединяющий их отрезок АС пересекается с прямой а в точке О.
На основании этих понятий сформулирована аксиома о расположении прямой на плоскости. Она является третьей аксиомой второй группы аксиом.
II3. Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости.
На основании этой аксиомы можно сделать следующий вывод. Дополнительные лучи двух пересекающихся прямых лежат на разных полуплоскостях. Пусть прямые а и b на плоскости пересекаются в точке О (рис. 16).
Тогда прямая b делится на два луча. Эти лучи лежат на разных полуплоскостях. Пусть лучи ОА и ОС будут дополнительными лучами прямой b. Если на луче ОА отметим произвольную точку В, тогда точка О не лежит между точками А и В, так как точка О является начальной точкой луча ОА. Поэтому отрезок АВ не пересекается с прямой а.
Следовательно, произвольные точки А,В луча ОА лежат в одной полуплоскости. Тогда луч ОА лежит в полуплоскости α1.
Так как ОА и ОС — дополнительные полупрямые, точка О лежит между точками А и С. Значит, С ∈ α2. Тогда все точки луча ОС лежат на полуплоскости α2. Итак, дополнительные лучи ОА и ОС прямой b лежат на разных полуплоскостях, разделенных прямой а.
Вопросы
1. В чем сходство и различие отрезка и луча? 2. Как может быть расположен отрезок относительно прямой? Каждый случай покажите на рисунке.
Упражнения
16. Даны три точки М, N, P, не лежащие на одной прямой. Через каждую пару этих точек проведите: 1) отрезки; 2) прямые; 3) покажите точку пересечения пар этих двух прямых. Лежит ли точка М на отрезке NР?
17. Начертите прямые а и b, пересекающиеся в точке М. Определите, сколько получилось полупрямых.
18. Начертите рис. 17 в своих тетрадях, используя разноцветные карандаши. Определите пересекающиеся и непересекающиеся лучи. Отметьте их точку пересечения.
19. На прямой а даны три точки А, В, С (рис. 17). Какие из них лежат между двумя другими? Можно ли сказать, что точка С лежит между точками А и В?
20. На прямой b даны четыре точки А, В, С, D (рис. 18). Назовите точки, которые: 1) лежат между двумя другими; 2) не лежат между двумя другими.
21. На рис. 19 изображены отрезки на прямой а. 1) Выпишите все отрезки, лежащие на прямой а. 2) На каком отрезке лежит точка В? 3) Лежит ли точка D на отрезке АВ?
22. Точка А делит прямую а на полупрямые АВ и АС (рис. 19). Укажите: 1) две точки, лежащие на одной полупрямой; 2) точки, лежащие на разных полупрямых.
23. 1) Сколько лучей изображено на рис. 19? 2) Какие точки расположены по одну сторону от точки D? По
разные стороны? 3) Между какими точками лежит точка D? 4) Сколько полупрямых имеется на рисунке?
24. На рис. 20 укажите взаимно пересекающиеся полупрямые.
25. Даны три точки А,В,С, не лежащие на одной прямой (рис. 21). Проведите прямые через каждую пару точек. 1) Сколько всего проведено прямых? Обозначьте их. 2) Определите точки пересечения проведенных прямых. 3) Назовите лучи с начальными точками А, В, С.
26. Дана плоскость и на ней отрезки АВ, СD, ЕF и КL (рис. 22). В тетрадях разноцветными карандашами сделайте этот рисунок. Прямая а делит плоскость на две полуплоскости 1 и 2. Выпишите: 1) отрезки, лежащие в одной полуплоскости; 2) отрезки, которые пересекаются с прямой а; 3) отрезки, которые не пересекаются с прямой а; 4) пересекающиеся отрезки; 5) непересекающиеся отрезки.
27. Сколько содержится на одной прямой: 1) отрезков; 2) лучей?
