Сыбайлас бұрыштар
Жазыңқы бұрыштың төбесінен шығып, оның қабырғаларымен беттеспейтін әрбір сәуле жазыңқы бұрыштың ішінде жатады деп есептеледі. 43-суретте ОD сәулесі ВОА жазыңқы бұрышының ішінде жатыр. Бұл жағдайда ВОD және DОА бұрыштары сыбайлас бұрыштар деп аталады.
Анықтама. Бір қабырғасы ортақ, ал қалган екі қабыргасы толықтауыш сәулелер болып келетін екі бұрыш сыбайлас бұрыш-тар деп аталады.
43-суретте ВОD және DОА сыбайлас бұрыштардың ОD қабырғасы ортақ, ал ОВ мен ОА қабырғалары толықтауыш сәулелер, бірін-бірі түзуге толықтырып тұр.
Теорема. Сыбайлас бұрыштардың қосындысы 180°-ңа тең.
Дәлелдеу. III4 аксиомасы негізінде былайша жаза аламыз:
∠АОD + ∠DОB =∠AОB. ∠AОB. Ал АОВ — жазыңқы бұрыш, онда ∠АОВ =180°. Ендеше, ∠АОD + ∠DОВ = 180°. Теорема дәлелдеңді.
Вертикаль бұрыштар
О нүктесінде қиылысқан а және b түзулері берілсін (44-сурет). Сонда а түзуінде ОА, ОҒ сәулелерін, b түзуінде ОС, ОЕ сәулелерін белгілеуге болады. ОҒ, ОЕ сәулелері ∠1-ді; ОА, ОС сәулелері ∠2-ні; ОЕ, ОА сәулелері ∠3-ті, ОС, ОҒ сәулелері ∠4-ті анықтайды. ∠1 мен ∠2-ні және ∠3пен ∠4-ті вертикаль бұрыштар деп атайды.
А н ы қ т а м а. Бір бұрыштың қабырғалары екінші бұрыштың қабырғаларының созындысы. болып келетін екі бұрышты вертикаль бұрыштар деп атайды.
44-суретте ОҒ және ОА, ОС және ОЕ сәулелері бір-бірінің созындысы болып тұр.
Теорема. Вертикаль бұрыштар тең болады.
Дәлелдеу. Вертикаль бұрыштар екі түзудің қиылысуынан пайда болады. а және b түзулері О нүктесінде қиылыссын (45-сурет). ∠1 мен ∠2 вертикаль бұрыштар. СОА — жазыңқы бұрыш, ∠СОА = 180°. Бірақ ∠1 + ∠3 = ∠СОА және ∠1 + ∠3 = 180°. Бұдан ∠1 = 180° — ∠3.
Осы сияқты b түзуіне қарағанда ∠DОВ = 180°, яғни ∠2 + ∠3 = 180° немесе бұдан ∠2 = 180° — ∠3.
(1) және (2) теңдіктердің оң жақтары тең, сондықтан ∠1 = ∠2 болады. Теорема дәлелденді.
Тапсырма. Сыбайлас жөне вертикаль бұрыштардың қасиеттері туралы жоғарыдағы теоремалардың шарттары мен қорытындыларын жіктеп айтып беріңдер.
Сұрақтар
1. Сыбайлас бұрыштар мен вертикаль бұрыштардың айырмашылығы неде?
2. Вертикаль бұрыштар туралы теореманы дәлелдеу барысында бұрыннан белгілі қандай білімді пайдаландыңдар?
Жаттығулар
75. Сүйір бұрыш сызыңдар. Осы бұрышты АВD жазыңқы бұрышқа толықтырыңдар. Пайда болған бұрыштарды жазыңдар.
76. Берілген АВС және СВЕ сыбайлас жатқан бұрыштар арқылы АВЕ-ні табыңдар. АВЕ және АВС бұрыштарын салыстырыңдар.
77. Сыбайлас бұрыштардың біреуі 1) 45°; 2) 120°; 3) 18° болса, онда оның екінші бұрышы неге тең?
78. Сыбайлас бұрыштар тең болса, онда олардың тік бұрыштар болатынын дәлелдеңдер.
79. Екі түзудің қиылысуынан пайда болған бұрыштардың бірі 50°-қа тең, қалған бұрыштарын табыңдар. Мұндағы сыбайлас бұрыштарды, жазыңқы бұрыштарды көрсетіңдер.
80. Вертикаль бұрыштардың биссектрисаларының бір түзу болатынын дәлелдеңдер.
81. Сыбайлас бұрыштардың биссектрисалары арасындағы бұрыш 90°-қа тең болатынын дәлелдеңдер.
82. Сыбайлас бұрыштардың бірі екіншісінен 5 есе артық болса, ол бұрыштардың үлкені неге тең?
83. Сыбайлас бұрыштардың бірі екіншісінен 40° кіші. Осы бұрыштарды табыңдар.
84. Сыбайлас бұрыштардың бірі 48° болса, екіншісі неге тең?
85. Сыбайлас бұрыштардың бірі екіншісінен 1) 64° үлкен; 2) 56° үлкен; 3) үш есе үлкен; 4) 2 есе кіші. Осы бұрыштарды табыңдар.
86. Екі түзудің қиылысуынан пайда болған екі бұрыштың 1) қосындысы 70°; 2) бірі екіншісінен 3 есе үлкен; 3) бірі екіншісінен 35°-қа кіші. Осы бұрыштарды табыңдар.
87. АВ түзуінің бойынан С нүктесін алайық. Осы нүктеден бастап АСD бұрышы ВСD бұрышынан 4 есе үлкен болатын СD сәулесі жүргізілген. Осы бұрыштарды табыңдар.