Треугольник и его элементы
Определение. Треугольником называется фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, соединяющих эти точки, а также части плоскости, ограниченной этими отрезками.
Пусть даны три точки А, В и С, не лежащие на одной прямой (рис. 52.1 ). Проведем отрезки АВ, ВС, СА и получим треугольник АВС. Вместо слова “треугольник” употребляется символ “Δ”. “Треугольник АВС” записывается в виде ΔАВС.
Точки А, В, С называются вершинами треугольника, а отрезки АВ, ВС, СА — его сторонами. ∠ВАС между лучами АВ, АС, т.е. между сторонами треугольника АВ, АС, а также ∠АСВ, ∠СВА называют углами треугольника. Значит, треугольник имеет 3 вершины, 3 стороны, 3 угла. Стороны и углы треугольника называются его элементами. Стороны треугольника, лежащие против его вершин А, В, С, соответственно обозначаются буквами а, b, с: ВС = а, СА = b, АВ = с. Углы треугольника при его вершинах обозначают ∠А,
∠В, ∠С, их называют внутренними углами.
В жизни можно найти много чего треугольной формы или очень похожей на нее. Так как это одна из простейших фигур, то и употребляется она часто во всяких ситуациях: например, Нос коробля в виде треугольника, на гербах городов и некоторых стран, железная руда (условные обозначения), некоторые дорожные знаки, треугольник в бильярде (для сбора всех шариков) и т.д.
Определения
Определение. Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника. ( Медиана — в переводе с латинского “средняя”.)
Медианы треугольника относительно его сторон принято обозначать через mа, mb, mс. Если точка М есть середина стороны b, то отрезок ВМ будет медианой, проведенной из вершины b (b = ВМ, М ∈ b).
Определение. Отрезок биссектрисы угла, соединяющий вершину с точкой на противолежащей стороне, называется биссектрисой треугольника.
Биссектрисы треугольника по отношению к его вершинам обозначаются через la, lb, lc (рис. 52.2). В ΔАВС отрезок ВЕ — биссектриса ∠В является биссектрисой этого треугольника, проведенной из его вершины В (lb= ВЕ).
Определение. Отрезок перпендикуляра, проведенного из данной вершины треугольника к прямой, находящейся на противоположной стороне, называется высотой треугольника.
Высоты треугольника по отношению к его сторонам обозначают через ha, hb, hc (рис. 52.3). На рис. 52 ВD ⊥ АС, поэтому отрезок ВD является высотой треугольника, опущенной из его вершины В на сторону АС (hb =ВD).
Определение. Сумма сторон треуголь- ника называется его периметром.
Р = a + b + c, где Р — периметр.
Виды треугольников
По отношению к элементам различают следующие виды треугольников.
а) Виды треугольников по длине его сторон.
1. Треугольник, у которого стороны имеют разные длины, называют разносторонним треугольником.
2. Треугольник, у которого две стороны равны, называют равнобедренным треугольником. Равные стороны являются боковыми сторонами, а третья сторона — основанием треугольника.
3. Треугольник, у которого все стороны равны, называют равносторонним треугольником.
б) Виды треугольников по величине углов. 1. Треугольник, у которого все углы острые, называют остроугольным треугольником. 2. Треугольник, у которого один из углов прямой, называют прямоугольным треугольником.
В прямоугольном треугольнике стороны, образующие прямой угол, называются его катетами, а сторона, лежащая против прямого угла, называется его гипотенузой.
На рис. 53 в ΔАВС ∠С= 90° — прямой угол, а, b — катеты, с — гипотенуза треугольника.
3. Треугольник, у которого один угол тупой, называют тупоугольным треугольником.
Вопросы
1. Можно ли считать равносторонний треугольник равнобедренным треугольником? 2. В чем сходство и различие медианы, биссектрисы, высоты треугольника?
Упражнения
96. Обозначьте три точки D, Е, М, не лежащие на одной прямой и начертите отрезки DЕ, ЕМ, МD. Укажите вершины, стороны и углы полученного треугольника.
97. Дан ΔАВС. Точка D лежит на стороне АВ. Начертите отрезок СD. Выпишите полученные треугольники.
98. “В любом треугольнике длина каждой его стороны меньше суммы длин двух других сторон” — это есть основное свойство треугольника. Это свойство напишите для треугольника KLF.
99. Существует ли треугольник со сторонами: а) 7 м, 7 м, 7 м; б) 40 см, 1 дм, 3 дм; в) 4,5 см, 7 см, 5 см; г) 3 м, 4,5 м, 1 м? Ответы обоснуйте.
100. Стороны треугольника равны: а) 7,5 см, 6 см, 4,5 см; б) 8,1 см, 7,9 см, 12 см. Вычислите периметр каждого треугольника.
101. Периметр земельного участка треугольной формы равен 1248 м. Найдите третью сторону по двум данным сторонам: а) а = 476 м, b = 504 м; б) а = 540 м, b = 400 м.
102. Начертите ΔАВС. 1) Измерьте стороны с помощью линейки, постройте медиану СD. 2) Используя треугольную линейку с прямым углом, проведите высоту СЕ к стороне АВ. 3) С помощью транспортира измерьте угол С, начертите биссектрису СМ. Дайте объяснение каждому случаю.
103. Дан ΔDЕС. Не измеряя его стороны с помощью циркуля, отложите на луче ОМ, начиная от точки О, отрезок, равный периметру треугольника.
104. Докажите, что каждая сторона треугольника меньше половины его периметра.
105. Длина одной стороны треугольника b дм. Могут ли остальные две стороны быть 5 b дм, 6 b дм?
106. Сумма двух сторон треугольника 72 дм, третья сторона на 18 дм меньше суммы двух его сторон. Найдите периметр треугольника.
107. Сколько вы видите треугольников на рис. 54? Назовите их.
108. Сколько вы видите углов на рис. 55? Назовите их.
109. Сколько вы видите треугольников на рис. 56? Назовите их.
110. Сколько вы видите треугольников на рис. 57?
Рисунок 56 Рисунок 57
111. Начертите любой треугольник. Разделите его на три четырехугольника.
112. Как можно получить из прямоугольного треугольника все шесть видов треугольника путем проведения отрезка, соединяющего вершину угла с гипотенузой?
113. Даны следующие рисунки (рис. 58). Покажите: из первого — 5, из второго — 6, из третьего — 7, из четвертого — 8, из пятого — 9, из шестого — 10, из седьмого — 11, из восьмого — 12, из девятого —
13 треугольников.
114. На рис. 59 показаны квадраты, состоящие из двенадцати палочек. Какие две палочки надо убрать, чтобы осталось только два квадрата?
