Определение. Первый признак равенства треугольников
На основании понятия о равенстве фигур можно определить равенство треугольников.
Определение. Треугольники, у которых все соответственные стороны равны и все соответственные углы равны, называются равными треугольниками.
Равенство треугольников АВС и А′В′С′ записывается в виде:
ΔАВС = ΔА′В′С′. Здесь АВ =А′В′, ВС = В′С′, АС = А′C′, ∠А = ∠А′, ∠В = ∠В′, ∠С = ∠С′.
При доказательстве равенства треугольников пришлось рассмотреть все шесть условий, однако в этом нет необходимости. Достаточно показать параллельность трех случаев, которые выбираются специальным способом. Эти случаи называются признаками равенства треугольников.
Теорема 1 (1-й признак равенства треугольников).
Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство. Пусть даны ΔАВС и ΔА′В′С′ (рис. 60). АВ = А′В′, АС=А′C′, ∠А=∠А′. Если докажем, что ВС=В′С′, ∠В= ∠В′, ∠С= ∠С′, то будет доказано, что ΔАВС = ΔА′В′С′.
На основании равенства отрезков отрезок АВ можно накладывать на отрезок А′В′ , тогда точка А совпадет с точкой А′, точка В — с точкой В′. На полуплоскости, начиная от луча АВ относительно прямой АВ, где лежит точка С, найдется луч АС такой, что можно отложить ∠А =∠А′ (IV3). Поскольку АС = А′C′, то точка С′ совпадет с точкой С. В результате получится, что ВС=В′С′. Также совпадут углы ∠В=∠В′, ∠С =∠С′, т. е. данные треугольники будут равны. Теорема доказана.
Второй признак равенства треугольников
Теорема 2 (2-й признак равенства треугольников).
Если одна сторона и прилежащие к ней два угла одного треугольника соответственно равны стороне и прилежащим к ней двум углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство. Пусть даны ΔАВС и ΔА′В′С′(рис.61). АВ =А′В′, ∠А = ∠А′, ∠В = ∠В′. Докажем, что данные треугольники равны.
Если докажем, что АС=А′ C′, тогда на основании первого признака равенства треугольников будет доказано равенство данных треугольников. Допустим, что АС ≠А′C′. Тогда на луче АС можно найти точку С1 такую, чтобы было АС1=А′С′. Итак, на основании первого признака равенства треугольников имеем: ΔАВС1= ΔА′В′С′.
Отсюда следует, что ∠АВС = ∠В′. Но по условию теоремы ∠В = =∠АВС = ∠В′. В результате, на полуплоскости относительно прямой АВ, где лежит луч ВС, построены два луча ВС, ВС1 такие, что образовавшиеся углы были бы равны ∠В′. Это противоречит аксиоме IV2. Поэтому ΔАВС = ΔА′В′С′. Теорема доказана.
Определение. Угол, смежный с любым из внутренних углов треугольника называется внешним углом треугольника.
На рисунке 62.1 изображены треугольник АВС и смежный с его углом АВС угол DBC.
Теорема-3. внешний угол треугольника всегда больше любого внутреннего угла, не смежного с ним.
Доказательство. Пусть дан треугольник АВС. Например, рассмотрим угол DBC, докажем, что он больше смежного с ним угла АСВ. Для этого проведем луч через вершину А и середину стороны ВС точку Е. Проведем равные отрезки АЕ=ЕF. По I признаку равенства треугольников ΔАСЕ = ΔBEF. Поэтому, ∠АСВ = ∠CBF. Но ∠CBF составляет лишь часть ∠DBC. Значит ∠DBC = ∠ACB .
Следствие. Если один из углов треугольника прямой или тупой то остальные углы треугольника острые.
Вопросы
1. Во всех признаках равенства треугольников в число трех данных равных между собой элементов входит хотя бы одна сторона треугольника. Почему? 2. Верно ли утверждение о том, что в равных треугольниках против их равных сторон лежат равные углы и, обратно, против их равных углов лежат равные стороны? Ответ обоснуйте.
Упражнения
115. При делении прямоугольника АВСD по диагонали АС получаются треугольники АВС и АСВ. Докажите их равенство двумя способами: 1) накладыванием одного треугольника на другой; 2) на основе первого и второго признаков равенства треугольников.
116. Сформулируйте теорему, обратную первому признаку равенства треугольников, и докажите ее.
117. Прямые АВ и СD пересекаются в точке О. ОА = ОВ, ОС = ОD. Докажите, что: 1) ΔОАС= ΔОВD; 2) АС=ВD;
3) ΔАСD = ΔВDС.
118. На продолжении медианы АD ΔАВС отмерили и отложили отрезок DЕ =АD. Докажите, что:
1) ΔАВD = ΔЕСD; 2) ΔАСD = ΔЕВD.
119. Дайте пояснение теореме, обратной второму признаку равенства треугольников. Докажите ее.
120. Концы отрезка СD лежат на параллельных прямых m и n. Докажите, что отрезок произвольной прямой, проходящей через точку О, лежащей на середине отрезкаСD, заключенный между прямыми m и n, делится пополам в точке О.
121. На продолжении медианы МD ΔKLM отложен отрезок DА=МD, а на продолжении медианы KF отложен отрезок FE=KF. Докажите, что точки А, L, Е лежат на одной прямой.
122. Если ΔEFL =ΔPQM, PQ = 4,5 см, QM = 7 см, MP = 8,5 cм, найдите периметр ΔEFL.
123. В задаче 170 прямая b, проходящая через точку О, пересекает прямые m и n в точках Е и F; ЕС = 12 см. Найдите отрезок DF.
124. Докажите, что в равных треугольниках биссектрисы, проведенные к равным сторонам, равны.
125. Докажите, что медианы, проведенные к равным сторонам равных треугольников, равны.
126. Если две стороны и медиана, проведенная к одной из этих сторон одного треугольника, соответственно равны двум сторонам и медиане другого треугольника, такие два треугольника будут равны. Докажите.