Анықтама. Үшбұрыштардың 1-ші теңдік белгісі
Фигуралардың теңдігі негізінде үшбұрыштардың теңдігін де анықтауға болады.
А н ы қ т а м а. Сәйкес қабырғалары мен бұрыштары тең болатын үшбұрыштар тең үшбұрыштар деп аталады.
АВС және А‘‘ё үшбұрыштарының теңдігі былай жазылады: ΔАВС = ΔА′В′С′. Мүндағы АВ =А′В′, ВС = В′С′, АС = А′C′, ∠А = ∠А′, ∠В = ∠В′, ∠С = ∠С′.
Үшбұрыштардың теңдігін дәлелдеу үшін осы алты шарттың да орындалуын көрсету керек. Дегенмен олардың бәрін дәлелдеудің қажеті жоқ. Сондықтан арнайы әдіспен үш жағдай таңдап алынады. Осы жағдайларды үшбұрыштардың теңдік белгілері дейді.
1-теорема (үшбұрыштар теңдігінің I белгісі).
Егер бір үшбұр-рыштың екі қабырғасы. және олардың арасындагы бұрышы екінші үшбұрыштың сәйкес екі қабырғасы мен олардың ара-сындагы бұрышына тең болса, онда мұндай үшбұрыштар тең болады.
ΔАВС және ΔА′В′С′ берілсін (60-сурет). АВ = А′В′, АС=А′C′, ∠А=∠А′. болсын. Енді ВС=В′С′, ∠В= ∠В′, ∠С= ∠С′, болатынын дәлелдесек, ΔАВС = ΔА′В′С′. дәлелденеді.
Дәлелдеу. Кесінділер теңдігіне сүйене отырып, АВ мен А‘В’ кесінділерін беттестірсек, А мен А‘, В мен В‘ нүктелері дәл келеді деуге болады. АВ түзуіне ңатысты С нүктесі жатқан жарты жазықтықта АВ сәулесінен бастап ∠А =∠А′ болатын АС сәулесін табуға болады (IV3 аксиома). АС = А‘С‘ болғандықтан, С‘ нүктесі С нүктесімен беттеседі. Нәтижесінде ВС = ‘ё шығады. Сол сияқты ∠В=∠В′, ∠С =∠С′, ендеше ΔАВС = ΔА′В′С′. Теорема дәлелденді.
Үшбұрыштардың 2- ші теңдік белгісі
2-теорема (үшбұрыштар теңдігінің II белгісі). Егер бір үшбұррыштың бір қабырғасы мен оган іргелес жатқан екі бұрышы екінші үшбұрыштың сәйкес қабыргасы мен оган іргелес жатқан екі бұрышына тең болса, онда мұндай үшбұрыштар тең болады.
ΔАВС мен ΔА′В′С′ берілсін (61-сурет). АВ = А‘В‘, ∠А =∠А′, ∠В= ∠В′ болсын.
Берілген үшбұрыштардың теңдігін дәлелдеу керек.
Дәлелдеу. Егер АС = А‘С‘ екенін дәлелдесек, онда 1-теорема негізінде ΔАВС мен ΔА′В′С′-тың тең болатыны дәлелденеді. Дәлелдеу үшін кері жорып, АС ≠А′C′ дейік. Онда АС сәулесінің бойынан АС1 = А‘С‘ болатын С1 нүктесі табылады. 1-теоремаға сүйенсек, ΔАВС = ΔА′В′С1 шығады. Бұдан ΔАВС1 = ∠В’ болатынын көреміз. Ал теореманың шарты бойынша ∠В = ΔАВС = ∠В’ . Ендеше, АВ түзуінің бір жағыңдағы жарты жазықтықта төбесі В нүктесінде, ал шамасы В‘ бұрышына тең болатын ВА қабырғасынан бастап екі сәуле (ВС, ВС1) жүргізілген болып тұр. Ал бұл IV2 аксиомасына қайшы, сондықтан ΔАВС = ΔА‘‘ё. Теорема дәлелденді.
А н ы қ т а м а. Үшбұрыштың ішкі бурышымен іргелес бұрыш ушбұрыштың сыртқы бұрышы деп аталады.
62.1- суретте АВС үшбұрышы және оның АВС ішкі бұрышымен іргелес DВС бұрышы бейнеленген.
3-теорема. Үшбұрыштың сыртқы бұрышы үшбұрыштың өзімен іргелес емес ішкі бұрыштарының қай-қайсысынан да үлкен.
Дөлелдеу. Кез келген АВС үшбұрышы берілсін. Мысалы, сыртқы DВС бұрышын қарастырып, оның ішкі АСВ бұрышынан үлкен екенін көрсетелік. Ол үшін А төбесі және ВС қабырғасының Е ортасы арқылы сәуле жүргізіп, оның бойына АЕ-ге тең ЕҒ кесіндісін салайық. Бірінші белгі бойынша АСЕ және ВЕҒ үшбұрыштары тең. Сондықтан ∠АСВ = ∠СВҒ. Бірақ, СВҒ бұрышы DВС бұрышының тек қандай да бір бөлігін ғана құрайды. Демек, ∠DВС > ∠АСВ.
Салдар. Егер үшбұрыштың бір бұрышы тік немесе доғал бұрыш болса, онда үшбұрыштың қалған бұрыштары сүйір болады.
Үшбұрыштың 3-ші теңдік белгісін осында оқуға болады.
Сұрақтар
1. Үшбұрыштардың теңдік белгілерінің бәрінде берілген элементтердің ішінде ең болмағанда бір қабырғасының тең болатыны неліктен?
2. “Тең үшбұрыштардың тең қабырғаларына қарсы жатқан бұрыштары да тең болады және керісінше, тең бұрыштарына қарсы жатқан қабыр-ғалары да тең болады” деген тұжырым ақиқат па? Жауаптарыңды негіздеңдер.
Жаттығулар
115.АВСD тіктөртбұрышының АС диагоналі оны АВС және АСD екі үшбұрышқа бөледі. Осы үшбұрыштардың теңдігін екі тәсілмен 1) беттестіру арқылы; 2) үшбұрыштар теңдігінің I және II белгілеріне сүйене отырып дәлелдеңдер.
116. Үшбұрыштар теңдігінің I белгісіне кері теореманы тұжырымдап дәлелдеңдер.
117. АВ және СD түзулері О нүктесінде қиылысады. ОА = ОВ, ОС = ОD. 1) ΔОАС = ΔОВD; 2) АС = ВD; 3) АС || ВD;
4) ΔАСD = ΔВDС болатынын дәлелдеңдер.
118. АВС үшбұрышының АD медианасының созындысына DЕ = АD салынды. 1) ΔАВD = ΔЕСD; 2) ΔАСD = ΔЕВD болатынын дәлелдеңдер.
119. Үшбұрыштар теңдігінің II белгісіне кері теореманы тұжырымдап, оны дәлелдеңдер.
120. СD кесіндісінің ұштары өзара параллель m және n түзулерінде жатыр. СD кесіндісінің ортасы О нүктесі арқылы өтетін кез келген түзудің m және n түзулерінің арасындағы кесіндісі О нүктесінде қақ бөлінетінін дәлелдеңдер.
121. КLМ үшбұрышының МD медианасының созындысына DА = МD, ал КҒ медианасының созындысына ҒЕ = КҒ кесінділері салынған. А, L, Е нүктелерінің бір түзудің бойында жататынын дәлелдеңдер. Нұсқау: LЕ || КМ, АL || КМ екенін көрсетіңдер, сонан соң параллельдер аксиомасын пайдаланыңдар.
122. ΔЕҒL = ΔРQМ екені белгілі. РQ = 4,5 см, QМ = 7 см, МР = 8,5 см болса, ЕҒL үшбұрышының периметрі қандай болады?
123. Жоғарыдағы 170-есептің шартында айтылғандай b түзуі m және n түзулерін Е мен Ғ нүктелерінде қияды, ЕС = 12 см. DҒ кесіндісін табыңдар.
124. Тең үшбұрыштардың тең қабырғаларына жүргізілген биссектрисаларының тең болатынын дәлелдеңдер.
125. Тең үшбұрыштардың сәйкес қабырғаларына жүргізілген медианалардың тең болатынын дәлелдеңдер.
126. Егер бір үшбұрыштың екі қабырғасы және олардың біреуіне жүргізілген медианасы екінші үшбұрыштың сәйкес екі қабырғасы мен медианасына тең болса, онда мұндай үшбұрыштардың тең болатынын дәлелдеңдер.