Теорема 1
1-теорема. (Түзулердің параллельдік белгілері тақырыбы, 2-теоремаға кері). Егер параллель екі тузуді ушінші тузу қиып өтсе, онда пайда болған айқыш бұрыштар тең болады.
Дәлелдеу. а || b түзулері берілсін (85-сурет). Оларды с түзуі қиып өткенде пайда болған ішкі айқыш бұрыштар ∠А және ∠2 болсын. ∠А =∠2 болатынын дәлелдейік. Керісінше ∠А мен ∠2 тең емес деп ұйғарайық. Сонда а түзуіне қарағанда анықталған жарты жазықтықтардың ВD сәулесі жатқан жарты жазықтығында ∠А = ∠АВЕ болатын ВЕ сәулесі табылады.
Ішкі айқыш бұрыштардың теңдігінен 2-теоремаға сүйенсек, ВЕ || а болып шығады. Нәтижесінде, В нүктесі арқылы а түзуіне параллель екі түзу (b түзуі және ВЕ сәулесі) өткен болады. Бұл негізгі V қасиетке қайшы келеді. Сондықтан ∠А мен ∠2 тең емес деп ұйғарғанымыз дұрыс емес, ∠1 = ∠2 болады. Теорема дәлелденді.
Теорема 2
2-теорема. (Түзулердің параллельдік белгілері тақырыбы, 2-теоремаға кері).
Параллель екі түзу үшінші түзумен қиылысқанда а) ішкі тұстас бұрыштардың қосындысы 180°-қа тең, ә) сәйкес бұрыштары тең болады.
Бұл теореманың дәлелдемесі 1-теоремадан шығады. 2-теореманы өз беттеріңше дәлелдеп көріндер.
Екі бұрыш берілсе, олардың сәйкес қабырғалары әртүрлі орналасуы мүмкін. Біз төменде олардың өзара параллель немесе перпендикуляр орналасқан жағдайларын қарастырамыз. Сәйкес қабырғалары параллель болуымен бірге, олар бірдей бағытталған немесе карама-карсы бағытталған болуы да мүмкін. Бұл жағдайда бұрыштарды анықтап тұрған сәулелердің бағыттары есепке алынады.
Терорема 3
3-теорема. Сәйкес қабырғалары параллель екі бұрыш өзара тең немесе олардың қосындысы 180°-қа тең болады.
Дәлелдеу. ∠1 және ∠2 бұрыштары беріліп, олардың сәйкес қабырғалары параллель болсын (86.1-сурет): а || а1, b || b1. Бұрыштардың төбелері О және О1 нүктелері делік.
Теореманың шартын қанағаттандыратын бұрыштар ∠1 мен ∠2 немесе ∠1 мен ∠5 болады. О, О1 нүктелері арқылы с түзуін жүргіземіз.
1) ∠1 мен ∠2-ні қарастырайық. Мұндағы ОА || О1 А1 және ОВ || О1 В1 сәулелері бірдей бағытталған болсын. 2-теоремадан ∠3 = ∠4 және ∠1 + ∠3 = ∠2 + ∠4 шығады, бүдан ∠1 = ∠2. Теореманың бірінші бөлігі дәлелденді.
2) ∠1 мен ∠5-ті қарастырайық. ОА || О1 А1 және ОВ || О1 В1. Бұл жерде ОА мен О1 А1 сәулелері қарама-қарсы, ОB мен О1 В1 сәулелері бірдей бағытталған (86.2-сурет). ∠5 — О1 А1 және О1 В1 сәулелерінің арасындағы бұрыш. ∠5 пен ∠2 сыбайлас бұрыштар, сондықтан ∠5 + ∠2 = 180°. Ал ∠2 = ∠1 болғандықтан, ∠1 + ∠5 = 180°. Теорема дәлелденді.
Салдар
Салдар. Сәйкес қабырғалары бірдей немесе қарама-қарсы бағытталған екі бұрыш тең болады.
Осыған ұқсас жолмен сөйкес қабырғалары перпендикуляр екі сүйір (доғал) бұрыштың да тең болатынын өздерің дөлелдеңдер.
Сұрақтар
1. Параллель түзулердің қасиеттері мен белгілерінің арасындағы ұқсастық пен айырмашылық қандай?
2. Теоремаларды дәлелдеуде қандай білімдеріңді пайдаландыңдар?
Жаттығулар
168.Параллель а мен b түзулерін с түзуі қиып өтеді. Ішкі тұстас бұрыштардың бірі 107°-қа тең. Бұл бұрыштың биссектрисасы екінші түзуді қандай бұрышпен қияды?
169. Екі параллель түзу үшінші түзумен қиылысады. Ішкі бұрыштардың бірі мен оған вертикаль бұрыштың қосындысы 240°-қа тең. Берілген бұрышқа сәйкес бұрышты табыңдар.
170. с түзуі АВ түзуімен Е нүктесінде, СD түзуімен Ғ нүктесінде қиылысады. Егер 1) ∠АЕҒ = 90° және ∠ЕҒD = 90° болса; 2) А мен D нүктелері с түзуінің бір жағында жатып, ∠ВЕҒ = 86°47’ және ∠ЕҒD = 93°13’ болса, АВ мен СD түзулері параллель бола ма?
171. 54-суретте көрсетілген 1) ∠6 = 92°; 2) ∠2 = 30°. а және b түзулері параллель болуы үшін ∠8 қандай болуы керек?
172. Екі параллель түзу мен қиюшының арасында пайда болған ішкі тұстас бұрыштардың айырымы 40°-қа тең. Барлық бұрыштарды табыңдар.
173. Екі бұрыш ∠АВС = 75° және ∠ВСD = 125° берілген. Осы бұрыштардың сәйкес қабырғалары ВА мен СD параллель бола ала ма?
174. Сәйкес қабырғалары қарама-қарсы бағытталған және әрқайсысы жазыңқы бұрыштан кіші болатын екі бұрыштың тең екенін дәлелдеңдер.
175. АВС тікбұрышы берілген. ∠САВ = 43° және АD || ВС болса, онда DАС бұрышы неге тең?
176. АВ, СD кесінділері О нүктесінде қиылысады. АО = ОВ болса, АС || ВD екенін дәлелдеңдер.
177. ∠АОВ = 52°. АОВ бұрышының ішінен алынған D нүктесі арқылы оның қабырғаларына параллель түзулер жүргізілген. Осы түзулердің арасындағы бұрышты және олардың қабырғаларымен жасайтын бұрыштарын табыңдар.
178. Сәйкес қабырғалары параллель екі бұрыштың бірі екіншісінен 70°-қа артық. Осы бұрыштарды табыңдар.