Теорема
В геометрии, кроме определений и аксиом, часто встречаются такие предложения, которые описывают свойства геометрических понятий, их называют теоремами. Свойства и связи между геометрическими
фигурами излагаются в виде каких-либо истинных утверждений, в верности которых можно убедиться только с помощью доказательства.
Утверждение, истинность которого требует доказательства, называется теоремой.
Поэтапное рассуждение правильности заключения теоремы, исходя из ее условий, называется доказательством теоремы. При доказательстве теоремы применяются ранее известные аксиомы и доказанные теоремы.
Итак, теорема — это математическое утверждение, справедливость которого устанавливается путем доказательства.
Теорема состоит из двух частей. В первой части от слова “если” до слова “то” дается условие теоремы. Во второй части от слова “то” до конца дается заключение теоремы. Условие — это ранее известные свойства фигур, то, что дано. Заключение — это то, что требуется доказать.
Например, признак делимости числа на число 3, известный из курса математики 5 класса, сформулируем в виде теоремы.
Теорема. Если сумма цифр в записи натурального числа делится на 3, то и само число делится на 3.
Здесь “Если сумма цифр в записи натурального числа делится на 3” является условием теоремы, а “то и само число делится на 3” — эаключением теоремы.
Существуют прямые и обратные теоремы. В таких теоремах переставлены их условия и заключения.
Задание
Постарайтесь самостоятельно сформулировать теорему, обратную к вышеприведенной теореме.
Вопросы
1. В чем сходство и различия аксиомы и теоремы? 2. Сформулируйте утверждение “Число 24 делится на 2 и на 3, поэтому оно делится и на 6” как теорему о делимости (признак делимости) на 6.
Упражнения
67. Определите, какие из данных предложений являются основным свойством (аксиомой), а какие теоремой:
1) через любые две точки можно провести прямую, притом только одну;
2) диагонали квадрата равны;
3) луч, исходящий из центра окружности, пересекается с окружностью в одной точке.
Объясните.
68. Докажите, что прямая, проходящая через центр окружности, пересекает ее в двух точках.
69. Прямая а, лежащая в плоскости α, делит ее на две полуплоскости α1 и α2. А ∈ α1, В ∈ α2. Прямая АВ пересекает прямую а. Чем является это утверждение — основным свойством или теоремой?
70. Сформулируйте утверждение, обратное данному утверждению: “Если два угла имеют равные градусные меры, то они равны”.
71. Если угол меньше прямого угла, то он является острым углом. Является ли это утверждение теоремой?
72. Определите правильно сформулированное утверждение:
1) “Биссектриса — это луч, который делит угол пополам”.
2) “Если луч является биссектрисой, то он делит угол пополам”.
3) “Биссектрисой называется луч, исходящий из вершины угла”.
4) “Биссектрисой называется луч, исходящий из вершины угла и делящий его пополам”.
Объясните.
73. Допишите предложения:
1) “Равные отрезки имеют…”.
2) “Каждый угол имеет определенную …”.
3) “Каков бы ни был луч, начиная от его начальной точки, на нем можно…”.
4) “ От любого луча в заданную полуплоскость можно отложить … ”.
74. Приведите доказательство утверждения: “Биссектриса развернутого угла делит его на два прямых угла”.