Үшбұрыш және оның элементтері
А н ы қ т а м а. Бір түзуде жатпайтын үш нүкте мен осы нүктелерді қосатын үш кесіндіден және сол кесінділермен шектелген жазықтықтың бөлігінен тұратын фигураны үшбұрыш деп атайды.
Бір түзуде жатпайтын әртүрлі А, В, С нүктелері берілсін (52.1-сурет). АВ, ВС, СА кесінділерін жүргізсек, АВС үшбұрышы пайда болады. Үшбұрыш деген сөздің орнына “Δ” белгісі қолданылады. Сонда “АВС үшбұрышы” деген сөз ΔАВС түрінде жазылады.
А, В, С нүктелері үшбұрыштың төбелері; АВ, ВС, СА кесінділері — қабырғалары; ∠ВАС — үшбұрыштың АС және АВ қабырғаларының арасындағы бұрышы, ∠АСВ, ∠СВА да бұрыштары деп аталады, яғни үшбұрыштың 3 төбесі, 3 қабырғасы, 3 бұрышы бар екен. Олар үшбұрыштың элементтері деп аталады. А, В, С төбелеріне қарсы жатқан қабырғаларды сәйкесінше а, b, с әріптерімен де белгілейді, яғни ВС = а, СА = b, АВ = с. Сондай-ақ бұрыштарды төбесіндегі әріппен ғана белгілеуге де болады: ∠А, ∠В, ∠С. Оларды үшбұрыштың ішкі бұрыштары деп атайды.
Үшбұрыш пішінді немесе оған өте ұқсас заттарды қоршаған ортадан көптеп кездестіреміз. Қарапайым фигура болғандықтан, оны әртүрлі салада қолданады. Мысалы, кемелердің тұмсықтары үшбұрыш пішінді болып келеді, кейбір елдердің, қалалардың таңбалары, темір рудасының шартты белгісі, көлік жолындағы белгілер т.б. үшбұрыштармен беріледі.
Анықтамалар
А н ы қ т а м а. Үшбұрыштың төбесін оған қарсы жатқан қабы-ғасының ортасымен қосатын кесіндіні оның медианасы (Лат. mediana — ортасы.) деп атайды.
Үшбұрыштың медианаларын жүргізілген қабырғасына байланысты mа, mb, mс деп белгілейді. М нүктесі с қабырғасының ортасы болса, ВМ кесіндісі В төбесінен жүргізілген медиана (mb = MB, М ∈ b).
А н ы қ т а м а. Үшбұрыш бұрышының биссектрисасының қарсы қабырғаға дейінгі кесіндісі, оның осы бұрышының биссектрисасы деп аталады.
Үшбұрыштың биссектрисаларын жүргізілген қабырғасына байланысты Ia, Ib, Іс деп белгілеуге болады (52.2-сурет). АВС үшбұрышының В бұрышының биссектрисасының ВЕ кесіндісі үшбұрыштың биссектрисасы болады (Іь = ВЕ).
А н ы қ т а м а. Үшбұрышты. төбесінен қарсы жатңан қабырғаны қамтитын түзуге түсірілген перпендикуляр кесіндіні оның биіктігі деп атайды.
Үшбұрыштың биіктіктерін түсірілген қабырғаға қатысты һа, һb, һс деп белгілеу келісілген (52.2-, 3-суреттер). ВD — биіктік, себебі ол В төбесінен АС қабырғасына түсірілген перпендикуляр, ВD ⊥ АС, (hb =ВD).
А н ы қ т а м а. Үшбұрыш қабырғаларының ұзындықтарының қосындысын оның периметрі деп атайды.
Периметр Р әрпімен белгіленіп, былай есептелінеді: Р = а + Ь + с.
Үшбұрыштың түрлері
Үшбұрыш алты түрге, яғни қабырғаларының ұзындықтарына байланысты үш түрге және бұрыштарының шамаларына байланысты үш түрге бөлінеді.
Үшбұрыштың қабырғаларының ұзындықтарына байланысты түрлері:
1) қабырғаларының ұзындықтары әртүрлі болатын әртүрлі қабырғалы үшбұрыш;
2) екі қабырғасы тең болатын теңбүйірлі үшбұрыш.
Теңбүйірлі үшбұрыштың өзара тең екі қабырғасы оның бүйір қабырғалары, ал үшіншісі — табаны деп аталады;
3) үш қабырғасы өзара тең болатын теңқабырғалы үшбұрыш.
Үшбұрыштың бұрыштарының шамаларына байланысты түрлері:
1) үш бұрышы да сүйір болатын сүйір бұрышты үшбұрыш;
2) бір бұрышы тік болатын тікбұрышты үшбұрыш.
Тікбұрышты үшбұрыштың тік бұрыш жасап тұрған қабырғалары оның катетері (Грек. kathetos — тік төмен.)деп, ал оған қарсы жатқан қабырғасы гипотенузасы (Грек. hypoteinusa— бір нәрсенің ұштарына керілген.)деп аталады.
53-суреттегі АВС үшбұрышында ∠С = 90°, а, b — катеттері, с — гипотенузасы;
3) бір бұрышы доғал болатын үшбұрыш догал бұрышты үшбұрыш деп аталады.
Сұрақтар
1. Теңқабырғалы үшбұрышты теңбүйірлі үшбұрышқа жатқызуға бола ма?
2. Медиана, биссектриса, биіктікке ортақ қандай қасиеттер бар және айыр-машылығы неде?
Жаттығулар
96. Бір түзудің бойында жатпайтын D, Е, М үш нүктесін белгілеңдер және DЕ, ЕМ, МD кесінділерін сызыңдар. Пайда болған үшбұрыштың төбелерін, қабырғаларын және бұрыштарын жазып көрсетіңдер.
97. АВС үшбұрышы берілген. АВ қабырғасында жатқан D нүктесі арқылы СD кесіндісін жүргізіңдер. Пайда болған үшбұрыштарды жазыңдар.
98. “Кез келген үшбүрыштың әр қабырғасы басқа қабырғаларының қосындысынан кем болады” деген үшбұрыштың негізгі қасиетін КLҒ үшбұрышы үшін жазыңдар.
99. Қабырғалары 1) 7 м, 7 м, 7 м; 2) 40 см, 1 дм, 3 дм; 3) 4,5 см, 7 см, 5 см; 4) 3 м, 4,5 м, 1 м болатын үшбұрыштар бола ма?
100. Қабырғалары 1) 7,5 см, 6 см, 4,5 см; 2) 8,1 см, 7,9 см, 12 см болатын үшбұрыштардың периметрлерін табыңдар.
101. Үшбұрыш пішінді жер бөлігінің периметрі 1248 м. Берілген екі қабырғасы бойынша үшінші қабырғасын табыңдар:
1) а = 476 м, b = 504 м; 2) а = 540 м, b = 400 м.
102. АВС үшбұрышын сызыңдар. 1) Сызғыштың көмегімен қабырғаларын өлшеп алып, сонан соң СD медианасын жүргізіңдер; 2) тікбүрышты үшбұрыш пішінді сызғыш көмегімен АВ қабырғасына СЕ биіктігін түсіріңдер; 3) транспортирдің көмегімен С бұрышын өлшеп, СМ биссектрисасын жүргізіңдер. Әр жағдайды түсіндіріңдер.
103. DЕС үшбұрышы берілген. Үшбұрыштың қабырғаларын өлшемей-ақ, циркульдің көмегімен ОМ сәулесінде О нүктесінен бастап оның периметріне тең кесінді салыңдар.
104. Үшбұрыштың әр қабырғасы оның периметрінің жартысынан кем болатынын дәлелдеңдер.
105. Үшбұрыштың бір қабырғасы b дм. Қалған екі қабырғасы 5b дм, 6b дм бола ала ма?
106. Үшбұрыштың екі қабырғасының қосындысы 72 дм, үшінші қабырғасы бүл қосындыдан 18 дм кем. Үшбүрыштың периметрін табыңдар.
107. 54-суреттен неше үшбұрыш көріп отырсыңдар? Атап шығыңдар.
108. 55-суретте неше бұрыш көріп отырсыңдар? Атап шығыңдар.
109. 56-суретте неше үшбұрыш бар? Атап шығыңдар.
110. 57-суретте неше үшбүрыш бар?
111. Кез келген үшбұрыш сызыңдар. Оны үш төртбүрышқа бөліңдер.
112. Тікбұрышты үшбұрыштың төбелерін гипотенузамен қосатын кесінді жүргізу арқылы 6 түрлі үшбұрыш қалай алуға болады?
113. 58-сурет бойынша: 1-суреттен 5 үшбұрышты; 2-суреттен — 6; 3-суреттен — 7; 4-суреттен — 8; 5-суреттен — 9; 6-суреттен — 10; 7-суреттен — 11; 8-суреттен — 12; 9-суреттен 13 үшбұрышты көрсетіңдер.
114. 59-суреттегі шаршы 12 таяқшадан тұрады. Екі шаршы ғана қалу үшін қандай екі таяқшаны алып тастау керек?
