Теоремы 1-2
В «Треугольник и его виды» дано определение прямоугольного треугольника. Теперь рассмотрим теоремы, относящиеся к прямоугольному треугольнику. В каких случаях прямоугольные треугольники будут равны?
Теорема 1. Если в двух прямоугольных треугольниках: 1 )равны их соответствующие катеты; 2)один катет и прилежащий к нему угол одного треугольника соответственно равны одному катету и прилежащему к нему углу другого; 3)гипотенуза и один острый угол одного треугольника соответственно равны гипотенузе и одному острому углу другого, то они будут равны.
Доказательство. Справедливость первого и второго случаев вытекает из 1-го признака равенства треугольников, а справедливость третьего случая вытекает из 2-го признака равенства треугольников.
Из пятого следствия теоремы о сумме углов треугольника известно, что если в двух прямоугольных треугольниках имеется по одному равному острому углу, то будут равны у них и вторые острые углы.
Теорема 2. Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и гипотенузе другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство. Пусть даны прямоугольные ΔАВС и ΔА′В′С′, в которых АВ =А′В′, ВС=В′С′ (рис. 69).
Докажем, что ΔАВС= ΔА′В′С′. К лучу СА построим дополняющий луч и на нем отложим отрезок СС 1=С′А′ (III2). Соединим точки В и С1. Получается ΔС1ВС= ΔА′В′С′ (первый случай теоремы 1). Здесь С1В =А′В′ =АВ, ∠1 = ∠2. Но поскольку С1В = АВ, ΔАВС1 будет равнобедренный. Если ∠3 = ∠2, a ∠2 = ∠1, тогда ∠3 = ∠1. Значит, ΔАВС= ΔА′В′С′ (третий случай теоремы 1). Теорема доказана.
Теоремы 3-4
Теорема 3. В любом треугольнике против бОльшей стороны лежит бОльший угол.
Доказательство. Пусть дан ΔАВС, в котором а > b (рис.70). Докажем, что ∠А > ∠В. СВ = а, на луче СВ можно построить точку D такую, чтобы было СD = b (III1). Точка D лежит на отрезке СВ, потому что а > b. Тогда ясно, что луч АD лежит внутри ∠А. Значит, ∠2 < ∠А. (1)
ΔАDС — равнобедренный по построению. Поэтому ∠2 = ∠1. (2) ∠1 есть внешний угол ΔАВD. На основании теоремы о внешнем угле треугольника имеем: ∠В < ∠1 . (3)
Из (1), (2), (3) вытекает ∠ В < ∠А. Теорема доказана.
Теорема 4. В любом треугольнике против бОльшего угла лежит бОльшая сторона.
Эту теорему предлагаем доказать самостоятельно.
Из теорем 3 и 4 вытекают следующие следствия.
Следствие 1. Каждый катет прямоугольного треугольника меньше его гипотенузы. Докажите самостоятельно.
Следствие 2. Перпендикуляр, опущенный из точки к данной прямой, меньше наклонной, проведенной из этой же точки. Докажите самостоятельно.
Теорема 5
Теорема 5. Любая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон.
Доказательство. Пусть дан ΔАВС (рис. 71). Докажем, что АВ < АС+ ВС (выше было показано путем измерения этих отрезков). Из точки С, лежащей на продолжении луча, отложим отрезок СD так, чтобы получилось СD = ВС (III1). В результате получим
АD = АС+СD =АС +ВС. (1)
ΔВDС — равнобедренный, поэтому
∠1 = ∠2 (2)
Точка С лежит между точками А и D. Поэтому луч ВС лежит внутри ∠АВD:
∠АВD > ∠1 (3)
На основании равенства (2): ∠АВD < ∠2. Значит, в ΔАВD отрезок АВ < АD (теорема 4). Если воспользоваться равенством (1), то
АВ<АС+ВС (4)
Теорема доказана.
Примеры
Пример 1. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы (рис.72).
Р е ш е н и е . Пусть АВС равносторонный треугольник с углов АВС=60°. Проведем биссектрису ВD. Она является и медианой и высотой. Поэтому Δ ВDС — прямоугольный, а 
Пример 2. На рисунке ΔАВС=Δ FED и АВ=FE, угол 1 равен 135°. Найдите угол 2 (рис.73).
Р е ш е н и е . ΔАВС =Δ FED и АВ=FE, отсюда ∠ВСА=EDF. ∠EDF=180°–135°=45°=∠ВСА. ∠ВСА+ ∠ВСF=180°, ∠ВСF =180°–45°=135°. ∠2=135°.
Вопросы
1.Почему для равенства двух прямоугольных треугольников достаточно равенства их катетов? 2. Почему для доказательства равенства двух прямоугольных треугольников можно ограничиться лишь рассмотрением двух элементов? 3. Можно ли образовать треугольник с помощью трех отрезков произвольной длины? Ответ обоснуйте.
Упражнения
140. Начертите прямоугольный треугольник, причем выделите разными цветами катеты и гипотенузу. Так же разноцветными карандашами проведите биссектрису, медиану, высоту к гипотенузе.
142. Начертите равнобедренный ΔАВС. Отметьте точки D и Е на отрезке АС так, что АD = СЕ. Каким будет ΔDВЕ?
143. ΔАВС — равнобедренный прямоугольный треугольник (∠С = 90°). Середины сторон АВ, ВС и СА обозначены соответственно точками D, Е, F. Проведены отрезки DС, DЕ, DF: 1) сколько получилось треугольников; 2) докажите, что точка D будет на равном расстоянии от вершин данного треугольника.
144. Изобразите какой-нибудь прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является отрезок АВ, а вершина С находится в одной из узлов сетки (рис. 74).
145. Изобразите какой-нибудь прямоугольный треугольник, катетом которого является АС, а вершина С находится в одном из узлов сетки. Найдите его гипотенузу, если стороны клеток равны 1 (рис.75).
146. Изобразите какой-нибудь прямоугольный треугольник, катетом которого DE, а вершина F находится в одном из узлов сетки. Найдите его катет, если стороны клеток равны 1 (рис. 75.)
147. Докажите, что высоты, опущенные на боковые стороны равнобедренного треугольника, равны.
148. Докажите, что если две высоты треугольника равны, то он будет равнобедренным треугольником.
149. Проведены две равные наклонные из точки, лежащей вне прямой. Расстояние между основаниями этих наклонных составляет 12,4 дм. Найдите проекции наклонных на прямой.