Древний Египет
О зарождении геометрии в Древнем Египте около 2000 лет до н. э. крупнейший древнегреческий историк Геродот (V в. до н. э.) пишет следующее: “Сезоострик, египетский фараон, разделил землю, дав каждому египтянину участок по жребию и взымал соответствующим образом налог с каждого участка.
Случалось, что Нил заливал тот или иной участок, тогда пострадавший обращался к царю, а царь посылал землемеров, чтобы установить, на сколько уменьшился участок, и соответствующим образом уменьшить налог. Так возникла геометрия в Египте, а оттуда перешла в Грецию”.
Развитие земледелия, строительства, ремесел и торговли требовало умения измерять и вычислять площади, объемы различных фигур и тел, а также знания свойств тех или иных фигур. Решение таких задач
содержится в вавилонских клинописных табличках, в египетских папирусах, в древнекитайских трактатах “Чжоу-би” и “Математике в девяти книгах”, а также других памятниках древности.
Древняя Греция
В Древней Греции, начиная с VII в. до н. э., происходит постепенный переход от практической к теоретической геометрии. Разрозненные геометрические сведения, позаимствованные у египтян и у вавилонян, ученые Древней Греции дополняли, уточняли, обобщали и развивали.
Отрывочные, эмпирические факты постепенно объединялись в систему, в цепь связанных между собой понятий, правил и положений, каждое из которых логически вытекало из предыдущего. Таким образом была
создана наука, изучающая формы, размеры и взаимное расположение фигур. Эта наука по-прежнему называется геометрией, несмотря на то, что ее содержание расширилось и шагнуло далеко за пределы учения об измерении земли.
Равенство в Геометрии
Понятие равенства в геометрии, введенное Евклидом, несколько отличается от равенства в арифметике или алгебре. Определение “равенства” фигур содержится в первой книге “Начал”: “Совмещающиеся друг с другом фигуры равны между собой”. Итак, под равенством фигур Евклид понимал возможность
совмещения фигур наложением. Такое понимание термина“равенство”расходится с основным свойством того же понятия в арифметике. Так, вторую аксиому из “Начал”: “Если к равным прибавить равные, то получатся равные” — нельзя применить к геометрическим фигурам.
Чтобы избежать многозначности одного и того же термина, в ХIХ в. в геометрии был принят более общий термин “конгруэнтность фигур”. Этот термин происходит от латинского congruentia, что означает “совпадение, соответствие, сходство”. Если две фигуры конгруэнтны, то существует взаимно-однозначное отображение одной фигуры на другую, причем расстояние между точками фигуры не изменяется при этом отображении. В некоторых отдельных случаях конгруэнтные фигуры могут быть равными.
Признаки конгруэнтности треугольников издавна имели важнейшее значение в геометрии, так как доказательство многочисленных теорем сводится к доказательству тех или иных треугольников.
Доказательством признаков равенства треугольников занимались еще пифагорейцы. По словам Прокла, Евдем Родосский приписывает Фалесу Милетскому доказательство теоремы о “равенстве” двух треугольников, имеющих равные сторону и два прилежащих к ней угла (второй признак равенства треугольников).
Эту теорему Фалес использовал для определения расстояния от берега до морских кораблей. Каким способом пользовался при этом Фалес, точно неизвестно.
Предполагают, что его способ состоял в следующем: пусть A — точка берега (рис.), B — корабль на море. Для определения расстояния AB восстанавливают на берегу перпендикуляр произвольной длины AC ⊥ AB; в противоположном направлении восстанавливают E ⊥ AC так, чтобы точки D (середина AC), B и E
находились на одной прямой. Тогда CE будет равна искомому расстоянию AB. Доказательство, действительно, основывается на втором признаке равенства треугольников (DC = DA; ∠C = ∠A;
∠EDC = ∠BDA как вертикальные).
Аксиома
Первоначальные сведения о свойствах геометрических фигур люди получили, наблюдая окружающий мир, и в результате практической деятельности. Со временем было замечено, что некоторые свойства
геометрических фигур можно вывести из других свойств путем доказательств.
А утверждения, полученные без доказательств, назвали аксиомами.
Само слово “аксиома” происходит от греческого axsioma, что означает “ценный, достойный”. Таким образом, аксиомы произошли из накопленного человечеством опыта.
Геометрия в ранний период своего развития достигла наиболее высокого уровня в Египте. В первом тысячелетии до н. э. геометрические сведения перешли от египтян к грекам. За период с VII по III в.
до н. э. греческие геометры не только обогатили геометрию многочисленными новыми теоремами, но сделали серьезные шаги к строгому ее обоснованию. Многовековая работа греческих геометров
за этот период была подытожена Евклидом (330—275 гг. до н. э.) в его труде “Начала”.
Изложение геометрии в “Началах” Евклида построено на системе аксиом.
В ней имеется аксиома параллельных (V постулат), которую в отличие от других аксиом со времен Евклида математики многих стран пытались доказать как теорему.
И наконец, в ХIХ в. этим безуспешным попыткам положил конец великий русский математик Н.И.Лобачевский (1792—1856), открыв новую, неевклидову геометрию.
Инструменты
Циркуль и линейка относятся к древнейшим геометрическим инструментам. Употребление линейки берет свое начало с незапамятных времен. Циркуль был изобретен значительно позже. Например, фигуры на древних папирусах свидетельствуют о применении линейки, а не циркуля. Согласно римскому поэту Овидию (I век), циркуль был изобретен в Древней Греции.
Астролябия (по-гречески астролябион) — термин, который образовался от греческих слов астрон — “звезда“ и лабе — “схватывание” — древний инструмент. Как угломерный прибор астролябия употреблялась до ХVIII в. для определения положения небесных светил, а затем для геодезических измерений.
Термин “алидада” (вращающаяся линейка угломерных инструментов) происходит от арабского альидада — “линейка”.
“Лимб” (плоское кольцо с нанесенными на боковой поверхности штрихами, делящими окружность на равные части (градусы); служит для отсчета углов в угломерных инструментах) происходит от латинского
limbus — “кромка, кайма”.
“Рулетка” — термин французского происхождения (roulette — “колесико”), означает инструмент для измерения линейных размеров, слово “экер”, взятое из французского языка, обозначает портативный
геодезический инструмент.
“Транспортир” (происходит от латинского transportare) — это приспособление для построения и измерения углов.
Градусное измерение, деление окружности на 360 равных частей, было принято в вавилонской астрономии и, вероятно, берет свое начало от того, что первоначально вавилонский год насчитывал 360 дней, к которым египтяне прибавили 5 каникулярных дней.
Деление градуса на 60 минут, минуты на 60 секунд связано с шестидесятиричной вавилонской нумерацией.