Древний Египет
О зарождении геометрии в Древнем Египте около 2000 лет до н. э. крупнейший древнегреческий историк Геродот (V в. до н. э.) пишет следующее: “Сезоострик, египетский фараон, разделил землю, дав каждому египтянину участок по жребию и взымал соответствующим образом налог с каждого участка.
Случалось, что Нил заливал тот или иной участок, тогда пострадавший обращался к царю, а царь посылал землемеров, чтобы установить, на сколько уменьшился участок, и соответствующим образом уменьшить налог. Так возникла геометрия в Египте, а оттуда перешла в Грецию”.
Развитие земледелия, строительства, ремесел и торговли требовало умения измерять и вычислять площади, объемы различных фигур и тел, а также знания свойств тех или иных фигур. Решение таких задач
содержится в вавилонских клинописных табличках, в египетских папирусах, в древнекитайских трактатах “Чжоу-би” и “Математике в девяти книгах”, а также других памятниках древности.
Древняя Греция
В Древней Греции, начиная с VII в. до н. э., происходит постепенный переход от практической к теоретической геометрии. Разрозненные геометрические сведения, позаимствованные у египтян и у вавилонян, ученые Древней Греции дополняли, уточняли, обобщали и развивали.
Отрывочные, эмпирические факты постепенно объединялись в систему, в цепь связанных между собой понятий, правил и положений, каждое из которых логически вытекало из предыдущего. Таким образом была
создана наука, изучающая формы, размеры и взаимное расположение фигур. Эта наука по-прежнему называется геометрией, несмотря на то, что ее содержание расширилось и шагнуло далеко за пределы учения об измерении земли.
Равенство в Геометрии
Понятие равенства в геометрии, введенное Евклидом, несколько отличается от равенства в арифметике или алгебре. Определение “равенства” фигур содержится в первой книге “Начал”: “Совмещающиеся друг с другом фигуры равны между собой”. Итак, под равенством фигур Евклид понимал возможность
совмещения фигур наложением. Такое понимание термина“равенство”расходится с основным свойством того же понятия в арифметике. Так, вторую аксиому из “Начал”: “Если к равным прибавить равные, то получатся равные” — нельзя применить к геометрическим фигурам.
Чтобы избежать многозначности одного и того же термина, в ХIХ в. в геометрии был принят более общий термин “конгруэнтность фигур”. Этот термин происходит от латинского congruentia, что означает “совпадение, соответствие, сходство”. Если две фигуры конгруэнтны, то существует взаимно-однозначное отображение одной фигуры на другую, причем расстояние между точками фигуры не изменяется при этом отображении. В некоторых отдельных случаях конгруэнтные фигуры могут быть равными.
Признаки конгруэнтности треугольников издавна имели важнейшее значение в геометрии, так как доказательство многочисленных теорем сводится к доказательству тех или иных треугольников.
Доказательством признаков равенства треугольников занимались еще пифагорейцы. По словам Прокла, Евдем Родосский приписывает Фалесу Милетскому доказательство теоремы о “равенстве” двух треугольников, имеющих равные сторону и два прилежащих к ней угла (второй признак равенства треугольников).
![равенство фигур](https://digital-geometry.com/wp-content/uploads/2023/02/79-7.webp)
Эту теорему Фалес использовал для определения расстояния от берега до морских кораблей. Каким способом пользовался при этом Фалес, точно неизвестно.
Предполагают, что его способ состоял в следующем: пусть A — точка берега (рис.), B — корабль на море. Для определения расстояния AB восстанавливают на берегу перпендикуляр произвольной длины AC ⊥ AB; в противоположном направлении восстанавливают E ⊥ AC так, чтобы точки D (середина AC), B и E
находились на одной прямой. Тогда CE будет равна искомому расстоянию AB. Доказательство, действительно, основывается на втором признаке равенства треугольников (DC = DA; ∠C = ∠A;
∠EDC = ∠BDA как вертикальные).
Аксиома
Первоначальные сведения о свойствах геометрических фигур люди получили, наблюдая окружающий мир, и в результате практической деятельности. Со временем было замечено, что некоторые свойства
геометрических фигур можно вывести из других свойств путем доказательств.
А утверждения, полученные без доказательств, назвали аксиомами.
Само слово “аксиома” происходит от греческого axsioma, что означает “ценный, достойный”. Таким образом, аксиомы произошли из накопленного человечеством опыта.
Геометрия в ранний период своего развития достигла наиболее высокого уровня в Египте. В первом тысячелетии до н. э. геометрические сведения перешли от египтян к грекам. За период с VII по III в.
до н. э. греческие геометры не только обогатили геометрию многочисленными новыми теоремами, но сделали серьезные шаги к строгому ее обоснованию. Многовековая работа греческих геометров
за этот период была подытожена Евклидом (330—275 гг. до н. э.) в его труде “Начала”.
Изложение геометрии в “Началах” Евклида построено на системе аксиом.
В ней имеется аксиома параллельных (V постулат), которую в отличие от других аксиом со времен Евклида математики многих стран пытались доказать как теорему.
И наконец, в ХIХ в. этим безуспешным попыткам положил конец великий русский математик Н.И.Лобачевский (1792—1856), открыв новую, неевклидову геометрию.
Инструменты
Циркуль и линейка относятся к древнейшим геометрическим инструментам. Употребление линейки берет свое начало с незапамятных времен. Циркуль был изобретен значительно позже. Например, фигуры на древних папирусах свидетельствуют о применении линейки, а не циркуля. Согласно римскому поэту Овидию (I век), циркуль был изобретен в Древней Греции.
Астролябия (по-гречески астролябион) — термин, который образовался от греческих слов астрон — “звезда“ и лабе — “схватывание” — древний инструмент. Как угломерный прибор астролябия употреблялась до ХVIII в. для определения положения небесных светил, а затем для геодезических измерений.
Термин “алидада” (вращающаяся линейка угломерных инструментов) происходит от арабского альидада — “линейка”.
“Лимб” (плоское кольцо с нанесенными на боковой поверхности штрихами, делящими окружность на равные части (градусы); служит для отсчета углов в угломерных инструментах) происходит от латинского
limbus — “кромка, кайма”.
“Рулетка” — термин французского происхождения (roulette — “колесико”), означает инструмент для измерения линейных размеров, слово “экер”, взятое из французского языка, обозначает портативный
геодезический инструмент.
“Транспортир” (происходит от латинского transportare) — это приспособление для построения и измерения углов.
Градусное измерение, деление окружности на 360 равных частей, было принято в вавилонской астрономии и, вероятно, берет свое начало от того, что первоначально вавилонский год насчитывал 360 дней, к которым египтяне прибавили 5 каникулярных дней.
Деление градуса на 60 минут, минуты на 60 секунд связано с шестидесятиричной вавилонской нумерацией.