Теорема 1
![](https://digital-geometry.com/wp-content/uploads/2023/02/90-7.webp)
Теорема 1. Если прямая перпендикулярна одной из параллельных, прямых, то она перпендикулярна и второй прямой.
Доказательство. Пусть даны прямые а, в, с такие, что а||в и с а (рис. 90). Прямая с секущая, поэтому, ∠1+ ∠2=180°, как сумма внутренних односторонних углов. ∠1=90°, поэтому и ∠2=90°.
Значит с в.
Теорема доказана.
Теорема 2
Теорема 2. Все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.
Доказательство. Рассмотрим параллельные прямые аи в . Отметим на прямой а точкуА и проведем из этой точки перпендикуляр АВ к прямой в (рис. 91). Докажем, что расстояние от любой точки D прямой а до прямой в равно АВ. Проведем из точки D перпендикуляр DС к прямой в . Так как DСв, то DСа (по теореме 1). Прямоугольные треугольники АВС и
DСА равны, а углы 1 и 2 равны как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых а и в секущей АС. Следовательно, DС = АВ.
Итак, любая точка D прямой а находится на расстоянии АВ от прямой в. Все точки прямой в находятся на таком же расстоянии от прямой а. Теорема доказана.
![](https://digital-geometry.com/wp-content/uploads/2023/02/91-7.webp)
Расстояние от произвольной точки одной из паралельных прямых до другой прямой называется расстоянием между этими прямыми.
Упражнения
208. Один из острых углов прямоугольного треугольника равен: 1) 18°; 2) 56°. Найдите его второй острый угол.
209. Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 60°: 1) катет, прилежащий к этому углу, равен 6,5 см. Вычислите гипотенузу;
2) сумма меньшего катета и гипотенузы — 3,6 дм. Найдите длину гипотенузы и меньшего катета.
210. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 18 м, один из его острых углов — 30°. Найдите длину катета, лежащего против этого угла.
211. В ΔKLM отрезок КМ = 24,8 дм, ∠М=30°, ∠K = 90°. Найдите: 1) расстояние от точки К до прямой LM; 2) проекцию наклонной LМ на прямой КL.
212. В ΔDEF ∠D = ∠F = 45° и DF = 16,4 м. Найдите: 1) расстояние от точки Е до прямой DF; 2) проекцию наклонной DЕ на прямой DF.
213. Прямая, пересекая две параллельные прямые, образует угол 30°. Длина отрезка между параллельными прямыми 17,6 дм. Найдите расстояние между параллельными прямыми.
214. В равнобедренном ΔАВС боковая сторона равна 16,4 дм. Из точки D, являющейся серединой боковой стороны АВ, проведен перпендикуляр. Этот перпендикуляр пересекает сторону ВС в точке Е. Периметр ΔАЕС равен 26,9 дм. Найдите сторону АС.
215. Докажите, что прямая, перпендикулярная биссектрисе угла, пересекает стороны этого угла, начиная с вершины, на равные отрезки.
216. Один острый угол прямоугольного треугольника равен 45°: 1) один из катетов — 8 дм; найдите его второй катет; 2) сумма катетов — 28 дм; найдите каждый катет;
3) сумма гипотенузы и высоты, опущенной к ней, — 21 дм. Найдите гипотенузу и высоту.
217. Докажите, что если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то один из его углов равен 30°.
218. В ΔАВС медиана ВD равна половине стороны АC. Найдите ∠В.
219. Отношение углов треугольника равно отношению чисел 1, 2 и 3. Докажите, что он будет прямоугольным треугольником.
220. Докажите, что угол между биссектрисами острых углов прямоугольного треугольника равен 145°.
221.Докажите, что высоты, опущенные на стороны равностороннего треугольника будут равны.
222. Если высоты в треугольнике равны, то докажите, что такой треугольник равносторонний.
223. В равностороннем треугольнике проведены две медианы. Найдите острый угол между ними.
224. Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 50°. Найдите угол между биссектрисой прямого угла и гипотенузой.