Геометриядағы тең фигуралар
Геометрияда тең фигуралар қарастырылады.
Екі фигураның теңдігін анықтау үшін олардың біреуін екіншісімен беттестіру керек. Фигураларды дәл беттестіру үшін олардың сәйкес нүктелерін және элементтерін таңдап алу қажет. Мысалы, АВСD төртбұрышының А‘‘ёD’ төртбұрышына тең екенін көрсету үшін АВСD төртбұрышы нүктелерінің үстіне А‘‘ёD‘ төртбұрышының сәйкес нүктелері дәл келетін етіп беттестіреміз. Егер А нүктесі А’ нүктесімен, АВ кесіндісі А‘В‘ кесіндісімен, т.с.с. сәйкес нүктелері мен кесінділері дәл келсе, онда берілген екі төртбұрыш тең болады.
А н ы қ т а м а. Сәйкес нүктелері беттесетін екі фигура тең фигуралар деп аталады.
Ғ және Ғ1 фигуралары тең болса, Ғ = Ғ1 деп жазамыз.
Кесінділердің теңдігін қарастырайық.
А н ы қ т а м а. Беттестіргенде ұштары дәл келетін кесінділер тең кесінділер деп аталады.
АВ және А‘В’ кесінділері берілсін (23.1-сурет). Егер АВ кесіндісін А‘В‘ кесіндісінің үстіне А және А‘ нүктелері дәл келетін етіп қойғанда В және В‘ ұштары да дәл келсе, онда АВ және А‘В‘ кесінділері тең болады да АВ = А‘В‘ деп жазылады.
Кесінділердің теңдігіне сүйене отырып, кез келген сәуленің бас нүктесінен бастап берілген кесіндіге тең кесінді салу мүмкін болады. Кесінді берілсе, онда бір ұшы сәуленің басында, ал екінші ұшы сәуленің бойында жататын, берілген кесіндіге тең кесінді табылады.
Егер АВ кесіндісін А‘В‘ кесіндісінің үстіне А және А‘ нүктелері дәл келетін етіп қойғанда В нүктесі В‘ нүктесімен дәл келмесе екі түрлі жатдайдың болуы мүмкін. Біріншісі, 23.2-суреттегідей В’ нүктесі А‘ пен В нүктелерінің арасында жатса, АВ > А‘В‘. Онда АВ = АВ‘ + В‘ В.
Екіншісі, 23.3-суреттегідей В нүктесі А‘ пен В‘ нүктелерінің арасында жатса, АВ < А‘В‘. Онда АB = АВ‘ — ВВ‘.
Кесінділерді өлшеу
Кесіндінің ұзындығын өлшеу үшін бөлік сызықтары бар сызғыш қолданылады. 24-суреттегі АС кесіндісінің ұзындығы 75 мм-ге тең, оны АС = 75 мм деп жазамыз. Мұнда кесіндінің өлшем бірлігі етіп 1 мм алынған. Демек, кесіндінің ұзындығын өлшеу үшін, алдымен ұзындық бірлігі таңдап алынады. Үзындығы таңдап алынған өлшем бірлігіне тең болатын кесінді бірлік кесінді деп аталады.
Сонымен кесіндінің ұзындығы оң санмен өрнектеледі, ал санның қасына өлшем бірлігі жазылып қойылады. Сонда АС = 75 мм дегеніміз ұзындығы 1 мм-ге тең бірлік кесінді АС кесіндісіне 75 рет өлшеп салынғанын көрсетіп тұр. Демек, кесіндінің узындыгын өлшеу дегеніміз, ол кесіндіде қанша бірлік кесінді бар екенін көрсететін санды табу болып есептеледі.
АС кесіндісінің ұзындығын басқаша А мен С нүктелерінің ара-қашықтығы деп те атайды. 24-суреттегі АВ кесіндісінің ұзындығы 50 мм, ВС кесіндісінің ұзындығы 25 мм. АС кесіндісінің ұзындығы АВ мен ВС кесінділерінің ұзындықтарының қосындысына тең болып тұр, яғни АС = АВ + ВС = 50 мм + 25 мм = 75 мм.
Циркульдің көмегімен де кесіндінің ұзындығын өлшей аламыз. Ол үшін, айталық ұзындығы 2 см-ге тең кез келген бірлік кесіндіні таңдап аламыз (25-сурет). Циркульдің ашалары арақашықтық бірлік кесіндіге тең болатын етіп бекітіледі. 25-суреттен СD кесіндісінің ұзындығы ашаның қадам санын бірлік кесіндіге көбейткенге тең екені көрініп тұр, яғни СD = 6 • 2 см = 12 см. Осы айтылғаннан кесіндіні санға көбейтуге болатыны шығады.
Аксиомалар
Жоғарыда айтылғандай кесінділердің теңдігіне сүйене отырып, кесінділерді өлшеудің аксиомаларын келтіруге болады. Олар III топ-ты құрайды.
III1. Әрбір кесінднің нөлден үлкен белгілі бір ұзындығы. бар болады.
III2. Егер берілген нүкте кесіндінің ұштарының арасында жатса, онда берілген кесіндінің ұзындыгы пайда болган кесінділердің ұзындықтарының қосындысына тең болады.
Сонымен, берілген кесіндіні санга көбейткенде шыгатын кесіндінің ұзындыгын табу үшін берілген кесіндінің ұзындыгын сол санга көбейту керек.
Сұрақтар
1. Фигуралар теңдігінің қолданылуына мысалдар келтіріңдер.
2. Кесіндіні құрайтын бірлік кесінділер саны әрқашан бүтін сан бола ма? Жауаптарыңды негіздеңдер.
3. Берілген бірлік кесіндіні пайдаланып, кез келген кесіндіні циркульдің көме-гімен өлшеуге бола ма? Барлық мүмкін жағдайларды қарастырыңдар.
Жаттығулар
28. Кез келген кесіндіні сызыңдар. Циркульдің көмегімен оған тең кесінді өлшеп салыңдар.
29. Әр түсті қағаздан АВСD және А1 В1 С1 D1 шаршыларын қиып алып салыстырыңдар. Осы фигуралардың теңдігіне қалай көз жеткізуге болады?
30. Қағаздан қиып алынған АВСD шаршысын АС кесіндісі бойымен бөліңдер. Пайда болған үшбұрыштардың теңдігіне көз жеткіздіңдер.
31. 26-суретте бір-біріне тең Ғ және Ғ1 фигуралары берілген. Қандай түзудің бойымен жылжытқанда, оларды дәл келетін етіп беттестіруге болады?
32. Ұзындығы 3 см, ені 1,5 см болатын АВСD тіктөртбұрышының АВ және DС қабырғаларын 3 см-ге жылжытсақ, ВЕҒС тіктөртбұрышы шығады (27-сурет). Осы тіктөртбұрыштар тең бола ма? Неліктен? Осы тіктөртбұрыштарды тағы қандай жолмен теңес-тіруге болады?
33. Бір түзуде жатқан М, N, D нүктелері берілген (28-сурет). 1) Қай нүкте қалған екеуінің арасында жатады? 2) МN және ND нүктелерінің қосындысы қандай кесіндіні анықтайды? 3) МD және ND кесінділерінің айырымы болатын кесіндіні көрсетіңдер.
34. АВСD квадраты берілген. АВ, ВС, СD, DА, АС, ВD кесінділерінің ішінен 1) өзара тең болатын; 2) ортақ нүктесі болатын; 3) ортақ нүктелері болмайтын кесінділерді анықтаңдар. Сызбада көрсетіңдер.
35. СD бірлік кесіндісі және АВ кесіндісі берілген. Егер СD кесіндісін АВ кесіндісіне А-дан бастап 3 рет өлшеп салуға болса, онда АВ кесіндісінің үзындығы неге тең және қалай жазылады? СD = 1 дм болса, онда АВ кесіндісінің ұзындығын табыңдар.
36. Ұзындығы 12 см-ге тең МN кесіндісіне циркульдің көмегімен 2 см кесіндіні М-нен бастап 4 рет өлшеп салып, К нүктесін табыңдар. МК және КN кесінділерінің үзындықтарын анықтаңдар.
37. АВ = 20 м, АС = 5 м, ВD = 7,9 м кесінділері берілген. Мына жағдайлар үшін СD кесіндісінің ұзындығын табыңдар: 1) С мен D нүктелері АВ кесіндісінде жатады; 2) С мен D нүктелері АВ кесіндісіне тиісті емес; 3) С нүктесі ғана АВ кесіндісіне тиісті; 4) D нүктесі ғана АВ кесіндісіне тиісті.
38. А, В, С нүктелері бір түзуде жатады. Мұндағы АВ = х, АС = х — 2. В нүктесі А және С нүктелерінің арасында жата ма?
39. А, В, С нүктелері бір түзуде жатады, ал А нүктесі В және С нүктелерінің арасында жатады. АВ = х, АС = х + 4,3, ВС = 6,7. АС кесіндісінің ұзындығын табыңдар.
40. Бір түзудің бойынан С, D және М нүктелері алынған. М нүктесі С мен D нүктелерінің арасында жатады. Егер СМ = а + 1, DМ = а + 2 (а > 0) болса, онда СD кесіндісінің ұзындығы 3-тен артық бола ала ма?
41. 16 тор көзден тұратын шаршыны өзара тең үш кесінді арқылы екі тең бөлікке бөліңдер.
42. Екі кесіндінің теңдігін қандай жолдармен анықтауға болады?