Ежелгі Египет
Геометрия жәніндегі тарихи мағлұматтар. Біздің заманымызға дейін 2 мың жыл бұрын грек тарихшысы Иродот былай деп жазады (б.з.д. V ғ.): “Мысыр фараоны Сезострис әр Мысыр тұрғынына жер бөліп беріп, әрбір бөліктен салық алып тұрған. Ніл өзені тасығанда жер телімін су басып, оның ауданы кеміп қалатын жағдайлар болған. Мұндай кезде жердің иесі патшадан жерінің ауданын дәл есептеп, салық мөлшерін азайтуын өтінеді”. Осылайша Ежелгі Мысырда пайда болған геометрия гректерге жетті.
Жер өңдеу, құрылыс, кәсіпкерлік және сауданың өркендеуі фигу-ралардың ауданын, әртүрлі денелердің көлемін өлшеу және есептеу, сол сияқты фигуралардың қасиеттерін білу қажеттігін туғызды. Осындай есептердің шешуі вавилондық кестелерінен, Мысыр папирустарынан, Ежелгі Қытайдың “чжоу — би” және “математиканың тоғыз кітабы” атты трактаттарынан, көне ескерткіштерден де табылған.
Ежелгі Грекия
Ежелгі Грекияда б.з.д. VII ғ. бастап практикалық геометрия теория-лық геометрияға ауыса бастады.
Жүйесіз геометриялық мағлұматтарды ежелгі грек ғалымдары толықтырып, нақтылап, қорытындылап, дамыта түсті. Эмпириялық факті-лер жүйеге келтіріліп, өзара байланысты түсініктер, ережелер бір-бірі-нің логикалық жалғасы болып, сатылап ретке келтірілді. Осылайша фигуралардың пішінін, өлшемін және өзара орналасуын қарастыратын ғылым пайда болды. Бұл ғылым дамуы жағынан жер өлшеуден қанша ілгері кеткенімен, әлі де сол бастапқыдай геометрия деп аталады.
Геометриядағы теңдік ұғымы
Геометриядағы теңдік ұғымы арифметика мен алгебрада берілетін теңдік ұғымынан өзгешелеу. Геометрияға теңдік ұғымын алғаш енгізген грек ғалымы Евклид. “Фигуралар теңдігі” анықтамасы “Негіздің” бірінші кітабында: “Бір-бірімен беттесетіндер тең болады” деп жазылған. Сонымен фигуралар теңдігін Евклид оларды беттестіргенде дәл келу мүмкіндігі деп түсінді. “Теңдік” терминін осылайша түсіндіру, бұл ұғымның арифметикадағы негізгі қасиеттерімен сәйкес келмейді. Мысалы, “Негіздерде” айтылған: “Егер теңдіктерге теңдіктер қосса, онда теңдік шығады” деген II аксиоманы геометриялық фигураларға қатысты айта алмаймыз.
ХІХ ғ. бір терминнің көп мағынада қолданылуын болдырмас үшін, теңдік ұғымына қарағанда жалпылау ұғым “фигуралардың конгруэнттілігі” енгізілді. Бұл термин латынның дәл келед, сәйкес, ұқсас деген ұғымды білдіретін сопдгиепіа сөзінен шыққан. Егер екі фигура конгруэнтті болса, онда фигуралардың бірін екіншісіне өзара мәндес түрлендіруге болады әрі мұндай түрлендіруде нүктелердің арақашықтығы сақталады. Кейбір жеке жағдайларда конгруэнтті фигуралар тең болуы да мүмкін.
Үшбұрыштардың конгруэнттілігі геометрияда ежелден маңызды орын алады. Себебі көптеген теоремалардың дәлелдеуі қандай да бір үшбұрыштардың конгруэнттілігін дәлелдеуге келіп тіреледі.
Үшбұрыштардың теңдік белгілерін Пифагордың оқушылары дәлелдеуге тырысқан болатын. Прокл, Евдем, Родосскийдің айтуынша, екі тең үшбұрыштың қабырғалары және оған іргелес екі бұрыштары тең болатынын (үшбұрыштар теңдігінің екінші белгісі) дәлелдеген Фалес Милетский. Фалес бұл теореманы теңіздің жағасынан кемеге дейінгі қашықтықты анықтау үшін пайдаланған. Оның тағы қандай әдістерді пайдаланғаны белгісіз. Фалестің қолданған әдісі туралы мынадай жорамал бар: А — жағадағы нүкте болсын (сурет), В — теңіздегі корабль, АВ қашықтығын табу үшін жағада АС ⊥ АВ түзулері жүргізілген, қарама-қарсы бағытта СЕ⊥ АС және D нүктесі (АС қабырғасының ортасы), В және Е нүктелері бір түзуде жатады. Сонда СЕ ізделінді АВ қашықтығына тең болады.
Дәлелдеуі, шынында, үшбұрыштар теңдігінің II белгісіне негізделіп тұр (DС = DА; ∠С = ∠А; ∠ЕDС = ∠ВDА — вертикаль бұрыштар).