Теорема
Геометрияда анықтамалардан және аксиомалардан басқа геометриялық үғымдардың қасиеттерін сипаттау үшін теорема деп аталатын сөйлемдер де жиі кездеседі. Геометриялық фигуралардың қасиеттері және байланыстары қандай да бір ақиқаттар түрінде туындайды да, олардың орындалатынына дәлелдемелер арқылы ғана көз жеткізуге болады.
Ақиқаттығы дәлелденетін сөйлемді теорема дейміз.
Теорема шарттарының негізінде оның қорытындысының дұрыс болатынын ретімен талқылап көрсетуді оның дәлелдемесі деп атайды.
Теореманы дәлелдегенде оған дейін белгілі болған анықтамалар, аксиомалар және дәлелденген теоремалар пайдаланылады.
Теорема екі бөліктен тұрады. Бірінші бөлімі “егер” деген сөзден “онда” деген сөзге дейін теореманың шарты, екінші бөлімі “онда” деген сөзден соңына дейін теореманың қорытындысы болып табылады. Теореманың шарты оның берілгені. Қорытынды — дәлелденуге тиісті қасиеттер.
Мысалы, 5—6-сыныптардың математика курсынан белгілі натурал санның 3 санына бөлінгіштік белгісін теорема түрінде тұжырымдайық.
Теорема. Егер натурал санның жазылуындағы цифрлардың қосындысы 3-ке бөлінсе, онда ол санның өзі де 3-ке бөлінеді.
Мұндағы “Егер натурал санның жазылуындағы цифрлардың қосындысы 3-ке бөлінсе” — теореманың шарты, ал “онда ол санның өзі де 3-ке бөлінеді” — теореманың қорытындысы.
Тура және кері теоремалар болады. Ондай теоремалардың шарты мен қорытындыларының орны алмасып тұрады.
Берілген теоремаға кері теореманы тұжырымдаңдар.
Сұрақтар
1. Аксиома мен теореманың ұқсастығы мен айырмашылығы неде?
2. “24 саны 2-ге және 3-ке бөлінетіндіктен, ол 6-ға да бөлінеді” деген тұжы-рымдаманы 6-ға бөлінгіштік теоремасы (бөлінгіштік белгісі) түрінде айтып беріңдер.
Жаттығулар
67. Мына сөйлемдердің қайсысы аксиома, қайсысы теорема болаты-нын анықтаңдар: 1) кез келген екі нүкте арқылы бір ғана түзу жүргізуге болады; 2) шаршының диагональдары тең болады; 3) шеңбердің центрінен басталатын сәуле оны бір нүктеде қиып өтеді; 4) бір түзудің бойында жататын үш нүктенің біреуі ғана қалған екеуінің арасында жатады.
68. Шеңбердің центрі арқылы өтетін түзудің оны екі нүктеде қиятынын дәлелдеңдер.
69. α жазықтығында жататын а түзуі оны α1 және α2 жарты жазықтықтарына бөледі. А ∈ α1, В ∈ α2.. АВ түзуі а түзуін қиып өтеді. Бұл сөйлем аксиома ма әлде теорема ма?
70. “Егер екі бұрыштың бұрыштық өлшемдері тең болса, онда олар тең болады” тұжырымына кері тұжырым жасаңдар.
71. Егер бұрыш тік бұрыштан кіші болса, онда ол сүйір бұрыш болады. Бұл сөйлем теорема бола ма?
72. Келесі тұжырымдамалардың ішінен дұрыс берілген тұжырым-даманы анықтаңдар: 1) “биссектриса — бұрышты қақ бөлетін сәуле”; 2) “егер сәуле биссектриса болса, онда ол бұрышты қақ бөледі”; 3) “бұрыштың төбесінен шығатын сәуле бұрыштың биссектрисасы деп аталады”; 4) “бұрыштың төбесінен шығып, оны қақ бөлетін сәулені оның биссектрисасы деп атайды”.
73. Келесі сөйлемдерді аяқтаңдар: 1) “тең кесінділердің …”; 2) “әрбір бұрыштың белгілі …”; 3) “қандай сәуле болса да оның бойына бас нүктесінен …”;
4) “градустық өлшемі 180°-тан кіші болатын бұрышты берілген жарты жазықтықта …”.
74. “Жазыңқы бұрыштың биссектрисасы оны екі тік бұрышқа бөледі” деген тұжырымдаманы дәлелдеңдер.